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En mathématiques,
les vérités ne sont pas toutes démontrables
A priori, en mathématiques, tout ce qui est vrai peut être prouvé. L'objectif de la reine des sciences exactes n'est-il pas justement de démontrer rigoureusement toutes les vérités? Las, l'ensemble des énoncés vrais est + vaste que l'ensemble des énoncés démontrables. Et cette proposition, elle, est bel et bien ... démontrée! Elle l'est même depuis 1931, grâce à Kurt Bödel et l'emploi des "métamathématiques", un langage mathématique qui commente étape par étape le raisonnement logique lui-même. Le point clé de cette démonstration consiste à construire un énoncé qui soit à la fois vrai et indémontrable. Elaboré sur le même schéma que l'antique paradoxe du menteur, il est le suivant:
"Cet énoncé n'est pas démontrable".
Un raisonnement par l'absurde permet dans un 1er temps de se convaincre qu'un tel énoncé n'est pas démontrable. En effet, s'il l'était ce qu'il énonce serait vrai; il serait donc vrai que "cet énoncé n'est pas démontrable", ce qui contredit l'hypothèse de départ: CQFD.
Mais, l'incapacité à démontrer cet énoncé suffit aussi à prouver qu'il est vrai, puisque c'est justement cette indémontrabilité qu'il affirme.
Intrinsèquement indémontrable et nécessairement vrai, ce seul exemple suffit à établir l'incomplétude des mathématiques: la méthode de démonstration basée sur des raisonnements logiques à partir d'axiomes ne suffit pas à atteindre tout le domaine de la vérité mathématique.
R.I., Scie & vie n°1115
proposé par mamadomi